O jogo cooperativo como uma função de valor das coalizões¶

Depois da intuição inicial sobre cooperação, precisamos agora dar um passo importante: descrever essa situação de forma precisa.

A ideia central dos jogos cooperativos é surpreendentemente simples.

Não modelamos estratégias. Não modelamos decisões passo a passo. Não modelamos sequências de jogadas.

Modelamos apenas isto:

quanto valor cada grupo possível de jogadores consegue gerar quando coopera.

Jogadores e coalizões¶

Considere um conjunto finito de jogadores

Qualquer subconjunto \(S \subseteq N\) é chamado de coalizão.

Isso inclui:

• jogadores sozinhos, como \(\{i\}\),
• grupos intermediários, como \(\{1,3,4\}\),
• e o grande grupo \(N\), contendo todos.

A pergunta central passa a ser:

Se exatamente os jogadores de \(S\) cooperarem entre si, quanto eles conseguem gerar?

A função característica¶

Essa pergunta é respondida por uma função

onde \(2^N\) é o conjunto de todas as coalizões possíveis.

Para cada \(S \subseteq N\), o número \(v(S)\) representa o valor total que os jogadores de \(S\) conseguem gerar ao cooperar.

Podemos agora escrever isso de forma precisa.

Um jogo cooperativo (com utilidade transferível) é descrito por um par \((N,v)\), onde

Essa função é chamada de função característica ou função de coalizão do jogo.

O que essa função realmente significa?¶

Dependendo do contexto, \(v(S)\) pode representar:

• lucro gerado por um consórcio de empresas,
• economia de custos ao compartilhar infraestrutura,
• votos obtidos por uma coalizão política,
• capacidade de produção conjunta,
• redução de risco ao atuar em grupo.

O ponto essencial é que \(v(S)\) mede o valor total disponível para aquele grupo.

Pense em \(v(S)\) como o tamanho da torta disponível para a coalizão \(S\). Como essa torta é dividida vem depois.

Um exemplo concreto¶

Considere três empresas interessadas em construir um gasoduto:

Sozinhas, nenhuma consegue viabilizar o projeto:

Mas juntas em pares, já conseguem extrair algum valor:

E as três juntas conseguem um resultado melhor ainda:

Essa tabela é o jogo inteiro. Nada mais é necessário.

O que não estamos modelando¶

Note o que ficou de fora:

• quem propôs a aliança,
• quem negociou com quem,
• qual foi a ordem das decisões,
• quais estratégias foram usadas.

Tudo isso desaparece.

Resta apenas a estrutura de valor da cooperação.

Por que isso é poderoso?¶

Porque, a partir apenas dessa função \(v\), podemos começar a fazer perguntas profundas:

• Como dividir \(v(N)\) entre os jogadores?
• Quem é essencial para gerar valor?
• Existem divisões estáveis?
• O que é uma divisão justa?
• Quem tem mais poder dentro da estrutura de coalizões?

Todos os conceitos clássicos da teoria dos jogos cooperativos nascem exclusivamente dessa função.

Uma mudança de perspectiva importante¶

Em jogos não cooperativos, o foco está no comportamento dos jogadores.

Aqui, o foco está na estrutura matemática da cooperação.

O jogo não é uma sequência de ações.

O jogo é uma tabela de valores das coalizões.

E é a partir dessa tabela que toda a teoria será construída.