Estabilidade: bloqueio e núcleo (Core)¶

Até aqui, descrevemos o conjunto das imputações: divisões que usam todo o valor e garantem que ninguém sai pior do que agindo sozinho.

Mas ainda falta uma pergunta essencial.

Mesmo que uma divisão pareça razoável, ela é sustentável?

Ou seja:

Existe algum grupo de jogadores que preferiria sair da grande coalizão e fazer um acordo por conta própria?

Essa é a ideia central por trás da estabilidade em jogos cooperativos.

A ideia de “desvio” em jogos cooperativos¶

Considere uma imputação \(x \in \mathbb{R}^n\). Ela diz quanto cada jogador recebe quando todos cooperam.

Agora pegue uma coalizão \(S \subseteq N\). Esse grupo sabe que, se se separar, consegue gerar \(v(S)\).

A pergunta é: será que eles conseguem dividir \(v(S)\) entre eles de um jeito que deixe todo mundo em \(S\) estritamente melhor do que em \(x\)?

Se sim, então \(x\) não se sustenta: aquele grupo tem incentivo para romper o acordo.

Pagamento total de uma coalizão¶

Dado um vetor \(x\), vamos escrever o total que \(x\) dá para uma coalizão \(S\) como

Essa notação é útil porque a coalizão compara “quanto recebe no acordo atual” com “quanto consegue garantir sozinha”.

Bloqueio¶

Dizemos que uma coalizão \(S\) pode bloquear uma imputação \(x\) se ela consegue garantir valor suficiente para melhorar a vida de todos dentro de \(S\).

Uma condição simples (e muito usada) para isso é:

Se existe algum \(S\) que bloqueia \(x\), então \(x\) não é estável: há um desvio coalicional plausível.

O núcleo (Core)¶

O núcleo é o conjunto de imputações que não podem ser bloqueadas por nenhuma coalizão.

Em termos práticos: são as divisões em que ninguém, em nenhum grupo, tem incentivo para abandonar o acordo.

Matematicamente, o núcleo é o conjunto de alocações \(x\) tais que:

A condição \(x(S) \ge v(S)\) diz:

“qualquer coalizão \(S\) já recebe pelo menos o que conseguiria garantir sozinha”.

Lendo isso geometricamente (caso de 3 jogadores)¶

No caso \(n=3\), o conjunto das imputações é um triângulo (como você viu anteriomente). Cada restrição do tipo

vira um meio-plano cortando esse triângulo.

O núcleo é simplesmente a interseção de todos esses cortes.

Por isso ele costuma ser um polígono¹ menor dentro do triângulo — e às vezes… pode nem existir.

Um fato importante: o núcleo pode ser vazio¶

Mesmo quando a grande coalizão gera muito valor, pode acontecer de não existir nenhuma imputação que satisfaça simultaneamente todas as restrições \(x(S) \ge v(S)\).

Intuitivamente, isso ocorre quando as coalizões “parciais” são fortes demais: sempre existe algum grupo capaz de exigir mais do que o acordo atual consegue oferecer sem violar outra restrição.

Quando o núcleo é vazio, precisamos de outras noções de estabilidade — mais flexíveis — como least-core e nucleolus.

(E é aqui que a teoria começa a ficar realmente interessante.)