Núcleo e poliedros relacionados¶
Muitos objetos de solução são definidos como poliedros.
Núcleo¶
Alocações no núcleo satisfazem:
- Eficiência: \(\sum_i x_i = v(N)\)
- Racionalidade coalizional: \(x(S) \ge v(S)\) para todo \(S\) não-vazio e próprio
Definição (núcleo)
O núcleo de um jogo TU \((N,v)\) é o conjunto de alocações \(x \in \mathbb{R}^n\) tais que:
\[\sum_{i \in N} x_i = v(N),$$ e para toda coalizão não-vazia e própria $S$, $$x(S) = \sum_{i \in S} x_i \ge v(S).\]
Intuição
Nenhuma coalizão consegue desviar com ganho: toda coalizão recebe pelo menos o que consegue garantir sozinha.
ε-núcleo / least-core¶
O ε-núcleo relaxa a racionalidade coalizional por \(\epsilon \ge 0\):
- \(x(S) \ge v(S) - \epsilon\)
O least-core escolhe o menor \(\epsilon\) possível (calculado via LP quando o SciPy está disponível).
Conjunto de imputações¶
- Eficiência + racionalidade individual (\(x_i \ge v(\{i\})\))
Definição (conjunto de imputações)
O conjunto de imputações é:
\[I(v) = \left\{x \in \mathbb{R}^n : \sum_{i \in N} x_i = v(N),\; x_i \ge v(\{i\})\;\forall i\right\}.\]
Para detalhes voltados à implementação, veja geometry.md.