Dividindo o valor: alocações e imputações¶

Agora que entendemos que um jogo cooperativo é descrito por uma função $v(S)$, uma pergunta surge naturalmente:

Como dividir o valor gerado pela grande coalizão $N$?

Sabemos quanto cada grupo consegue gerar. Mas ainda não falamos sobre como esse valor é distribuído entre os jogadores.

É aqui que surge um novo objeto central da teoria.

Alocações¶

Uma forma de dividir o valor entre os jogadores é por meio de um vetor

\[ x = (x_1, x_2, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n, \]

onde $x_i$ representa quanto o jogador $i$ recebe.

Esse vetor é chamado de alocação.

Ele não depende mais de coalizões. Ele descreve apenas o resultado final da cooperação.

A primeira exigência natural: usar todo o valor disponível¶

Se os jogadores juntos conseguem gerar $v(N)$, parece razoável exigir que tudo isso seja distribuído:

\[ \sum_{i \in N} x_i = v(N). \]

Se a soma for menor, estamos “jogando fora” valor. Se for maior, estamos distribuindo algo que não existe.

Essa condição é chamada de eficiência.

A segunda exigência natural: ninguém aceitar receber menos do que sozinho¶

Cada jogador sabe quanto consegue gerar por conta própria: $v(\{i\})$.

Portanto, uma divisão só faz sentido se

\[ x_i \ge v(\{i\}), \quad \text{para todo } i \in N. \]

Caso contrário, o jogador preferiria abandonar a cooperação.

Essa condição é chamada de racionalidade individual.

Imputações¶

Quando uma alocação satisfaz essas duas propriedades — eficiência e racionalidade individual — ela recebe um nome especial.

Chamamos essa alocação de imputação.

Em termos matemáticos, o conjunto de todas as imputações é

\[ \left\{ x \in \mathbb{R}^n \,:\, \sum_{i \in N} x_i = v(N) \text{ e } x_i \ge v({i}) \ \forall i \right\}. \]

Esse conjunto é chamado de conjunto das imputações.

O que isso representa intuitivamente?¶

Uma imputação é simplesmente uma forma de dividir o valor total que:

usa exatamente tudo o que foi gerado, e
garante que ninguém sai prejudicado em relação a agir sozinho.

Nada foi dito ainda sobre justiça. Nada foi dito ainda sobre estabilidade. Nada foi dito ainda sobre poder.

Estamos apenas descrevendo as divisões que fazem sentido considerar.

Visualizando isso¶

Geometricamente, as imputações formam um subconjunto de um hiperplano em $\mathbb{R}^n$: todas as divisões possíveis do valor total, limitadas pelo fato de que cada jogador precisa receber pelo menos o que conseguiria sozinho.

Esse é o “espaço” onde todas as soluções clássicas da teoria vão viver.

Conjunto das imputações do exemplo do gasoduto: $ \{(x_1,x_2,x_3) \, : \, x_1+x_2+x_3 = 100,\; x_i \ge 0\} $

Por que isso é um passo tão importante?¶

Porque agora podemos reformular todas as perguntas da teoria de forma muito clara:

Entre todas as imputações, quais são estáveis?
Entre todas as imputações, quais são justas?
Entre todas as imputações, quais refletem melhor o poder de cada jogador?

Os conceitos que vêm a seguir — núcleo, valor de Shapley, núcleo mínimo, kernel, índices de poder — nada mais são do que diferentes maneiras de escolher pontos dentro desse conjunto.

A teoria dos jogos cooperativos, a partir daqui, passa a ser a arte de selecionar boas imputações.